高中数学国际奥林匹克竞赛第1届IMO试题下载
第1届IMO 1. 求证(21n+4)/(14n+3) 对每个自然数 n都是最简分数。 2. 设(x+(2x-1))+(x-(2x-1))=A，试在以下3种情况下分别求出x的实数解： (a) A=2；(b)A=1；(c)A=2。 3. a、b、c都是实数，已知 cos x的二次方程 a cos2x + b cos x + c = 0, 试用a,b,c作出一个
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第2届IMO 1. 找出所有具有下列性质的三位数 N：N能被11整除且 N/11等于N的各位数字的平方和。 2. 寻找使下式成立的实数x： 4x2/(1 - (1 + 2x))2 2x + 9 3. 直角三角形ABC的斜边BC的长为a，将它分成 n 等份（n为奇数），令为从A点向中间的那一小段线段所张的
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第3届IMO 1. 设a、b是常数，解方程组 x + y + z = a; x2 + y2 + z2 = b2; xy=z2 并求出若使x、y、z是互不相同的正数，a、b应满足什么条件？ 2. 设a、b、c是某三角形的边，A 是其面积，求证： a2 + b2 + c2 = 43 A. 并求出等号何时成立。 3. 解方程 cosnx - s
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第4届IMO 1. 找出具有下列各性质的最小正整数 n：它的最后一位数字是6，如果把最后的6去掉并放在最前面所得到的数是原来数的4被。 2. 试找出满足下列不等式的所有实数 x： (3-x)- (x+1) 1/2. 3. 正方体 ABCDA'B'C'D'（ABCD、A'B'C'D'分别是上下底）。一点 x
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第5届IMO 1. 找出下列方程的所有实数根（其中 p是实参数）： (x2-p)+2(x2-1) = x. 2. 给定一点A及线断BC，设空间中一点P使得存在线段BC上有一点X满足 角APX是直角，试求出所有这样的点P的轨迹。 3. 在一个 n边形中，所有内角都相等，边长依次是 a1 = a2 = ..
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第6届IMO 1. (a) 求所有正整数 n 使得 2n - 1 能被 7整除； (b) 求证不存在正整数 n 使得 2n + 1 能被 7 整除。 2. 假设a、b、c是某三角形的三边长，求证： a2(b + c - a) + b2(c + a - b) + c2(a + b - c) = 3abc. 3. 三角形ABC的三边长为别为a、b、c。分别
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第7届IMO 1. 试找出所有位于区间[0, 2pi] 的x使其满足 2 cos x | (1 + sin 2x) - (1 - sin 2x)| 2 . 2. 如下方程组的系数 aij ， a11x1 + a12 x2+ a13 x3 = 0 a21x1 + a22x2 + a23x3 = 0 a31x1 + a32x2 + a33x3 = 0 满足： a. a11、 a22、 a33 是正数，其余
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第8届IMO 1. 在一次数学竞赛中共有A、B、C三道题，25名参赛者每人至少答对了一题。在所有没有答对A的学生中，答对B的人数是答对C的人数的两倍，只答对问题A的人数比既答对A又至少答对其他一题的人数多1。又已知在所有恰好答对一题的参赛者中，有一半没有答对
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第9届IMO 1. 平行四边形ABCD，边长 AB = a, AD = 1, 角 BAD = A, 已知三角形ABD是一个锐角三角形，求证以A,B,C,D为圆心半径为1的四个圆能够覆盖此平行四边形的充要条件是 a cos A + 3 sin A. 2. 若四面体有且仅有一边大于1，求证其体积 1/8. 3. k, m, n 是自
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第10届IMO 1. 求证有且仅有一个三角形，它的边长为连续整数，有一个角是另外一个角的两倍。 2. 试找出所有的正整数 n，其各位数的乘积等于 n2 - 10n - 22。 3. a, b, c 是不全为0的实数。x1, x2, ... , xn 是满足下述方程组的未知数： axi2 + bxi + c = xi+1
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